Question

【題目】定義：若m﹣ ＜x （m∈Z），則m叫做離實數x最近的整數，記作{x}，即m={x}，關于函數f（x）=x﹣{x}的四個命題：①定義域為R，值域為（﹣ ， ]； ②點（k，0）是函數f（x）圖象的對稱中心（k∈Z）；③函數f（x）的最小正周期為1； ④函數f（x）在（﹣ ， ]上是增函數．上述命題中，真命題的序號是

Answer 1

【答案】①③
【解析】解：①中，令x=m+a，a∈（﹣ ， ]
∴f（x）=x﹣{x}=a∈（﹣ ， ]
所以①正確；
②中，∵f（2k﹣x）=（2k﹣x）﹣{2k﹣x}=（﹣x）﹣{﹣x}= ，
∴點（k，0）（k∈Z）不是y=f（x）的圖象的對稱中心；故②錯；
③中，∵f（x+1）=（x+1）﹣{x+1}=x﹣{x}=f（x）
所以周期為1，故③正確；
④中，x=﹣ 時，m=﹣1，
f（﹣ ）=
x= 時，m=0，
f（ ）=
所以f（﹣ ）=f（ ）
所以④錯誤．
所以答案是：①③．
【考點精析】認真審題，首先需要了解命題的真假判斷與應用(兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系)．