Question

【題目】如圖，在幾何體中，四邊形為菱形，對角線與的交點為，四邊形為梯形，，.

（1）若，求證：平面；

（2）求證：平面平面；

（3）若，求與平面所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）取的中點，連接，根據四邊形的性質，證得，利用線面平行的判定，即可證得平面.

（2）由四邊形為菱形，證得，又由，證得，利用線面垂直的判定定理，證得平面，再由面面垂直的判定定理，即可證得平面平面.

（3）作于，得到為于平面所成的角，在在中，利用余弦定理，即可求解.

（1）取的中點，連接，

因為是菱形的對角線與的交點，所以，且，

又因為，且，所以，且，

從而四邊形為平行四邊形，所以.

又平面，平面，平面.

（2）因為四邊形為菱形，所以；

因為，是的中點，所以，

又，所以平面.

又平面，所以平面平面.

（3）作于，因為平面平面，平面平面 ，

平面，所以平面，則為于平面所成的角.

由及四邊形為菱形，得為正三角形，

則，.

又，所以為正三角形，從而.

在中，得，

所以與平面所成角的余弦值為.