Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點D、E、F分別為線段A1C1、AB、A1A的中點，A1A＝AC＝BC，∠ACB＝90°．求證：

（1）DE∥平面BCC1B1；

（2）EF⊥平面B1CE．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）取B1C1的中點M，連接D1M，BM，證明四邊形DMBE是平行四邊形，得到證明.

（2）根據勾股定理得EF⊥CE，根據三角函數關系得到EF⊥B1E，得到證明.

（1）如圖所示：取B1C1的中點M，連接D1M，BM，由題意得DM∥A1B1，

∴DM∥AB，且DM是△A1B1C1的中位線，DMAB＝BE，

所以四邊形DMBE是平行四邊形，

∴DE∥BM，又DE面BCC1B1，BM面BCC1B1

∴DE∥平面BCC1B1．

（2）由題意設AC＝2，則AB＝2，AE，AF＝1，

在△AEF中，EF，

而CEAB，Rt△ACF中，CF，

∴△CEF中CE2+EF2＝CF2，由勾股定理得，EF⊥CE，

tan∠FEC，tan∠BEB1，所以tan∠FECtan∠BEB1＝1，

所以EF⊥B1E，又CE∩EB1＝E，CE平面B1CE，B1E平面B1CE，

∴EF⊥平面B1CE．