Question

【題目】在數列中，.從數列中選出項并按原順序組成的新數列記為，并稱為數列的項子列.例如數列、、、為的一個項子列.

（1）試寫出數列的一個項子列，并使其為等差數列；

（2）如果為數列的一個項子列，且為等差數列，證明：的公差滿足；

（3）如果為數列的一個項子列，且為等比數列，證明：

.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一.如項子列，，；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

試題（1）根據題中的定義寫出一個項子列即可；（2）對是否等于進行分類討論，結合條件“為等差數列”，利用公差推出矛盾，從而得到，再由結合證明；

（3）注意到數列各項均為有理數，從而得到數列的公比為正有理數，從而存在、使得，并對是否等于進行分類討論，結合等比數列求和公式進行證明.

試題解析：（1）答案不唯一.如項子列、、；

（2）由題意，知，

所以.

若，

由為的一個項子列，得，

所以.

因為，，

所以，即.

這與矛盾.

所以.

所以，

因為，，

所以，即，

綜上，得；

（3）由題意，設的公比為，

則.

因為為的一個項子列，

所以為正有理數，且，.

設，且、互質，）.

當時，

因為，

所以

，

，

所以.

當時，

因為是中的項，且、互質，

所以，

所以

.

因為，、，

所以.

綜上，.