Question

【題目】已知拋物線，點與拋物線的焦點關于原點對稱，過點且斜率為的直線與拋物線交于不同兩點，線段的中點為，直線與拋物線交于兩點．

（Ⅰ）判斷是否存在實數使得四邊形為平行四邊形．若存在，求出的值；若不存在，說明理由；

（Ⅱ）求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）設直線的方程，代入拋物線方程，利用韋達定理及中點坐標公式求得點坐標，求得直線的方程，代入拋物線方程，若四邊形為平行四邊形，當且僅當，即，求得的值，結合，故不存在使得四邊形為平行四邊形；（Ⅱ）計算出，根據的取值范圍，即可求得的取值范圍．

試題解析：（Ⅰ）設直線的方程為，設．

聯立方程組，得．

顯然，且，即，得且．

得，

， ．

直線的方程為： ，

聯立方程組，得，

得，

若四邊形為平行四邊形，

當且僅當 ，即，

得，與且矛盾．

故不存在實數使得四邊形為平行四邊形

（Ⅱ）

由且，得；

當， 取得最小值；

當時， 取；當時， 取；

所以