Question

過橢圓

x2

2

+y2=1的左焦點F₁的直線l交橢圓于A、B兩點．
（1）求

AO

•

AF1

的范圍；
（2）若

OA

⊥

OB

，求直線l的方程．

Answer 1

（1）∵橢圓

x2

2

+y2=1，
∴a=

2

，b=1，c=1，
∴F₁（-1，0），…（1分）
設A（x₁，y₁），則

AO

•

AF1

=

x

21

+x1+

y

21

…（3分）
∵

x12

2

+y12=1，
∴

AO

•

AF1

=

x

21

+x1+

y

21

=

1

2

x

21

+x1+1=

1

2

(x1+1)2+

1

2

…（5分）
∵x1∈[-

2

，

2

]，
∴

AO

•

AF1

∈[

1

2

，

2

+2]，…（6分）
（2）設A、B兩點的坐標為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
①當l平行于y軸時，點A(-1，

2

2

)、B(-1，-

2

2

)，此時

OA

•

OB

=

1

2

≠0…（8分）
②當l不平行于y軸時，設直線l的斜率為k，則直線l方程為y=k（x+1），
由

y=k(x+1) x2 2 +y2=1

得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0…（9分）
∴x1+x2=-

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

…（11分）
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k2(x1+x2)+k2
=(1+k2)•

2k2-2

1+2k2

-k2•

4k2

1+2k2

+k2=0
解得k²=2，
∴k=±

2

…（13分）
故所求的直線方程為y=±

2

(x+1)…（14分）