Question

已知拋物線C的方程為：y²=4x，直線l過（-2，1）且斜率為k≥0，當k為何值時，直線l與拋物線C（1）只有一個公共點，（2）有兩個公共點．

Answer 1

（1）當k=0時，直線l的方程為y=1，與拋物線C的方程聯立

y=1 y2=4x

，解得(

1

4

，1)，此時直線l與拋物線C只有一個公共點．
k＞0時，直線l的方程為y-1=k（x+2），聯立

y-1=k(x+2) y2=4x

，化為k²x²+（4k²+2k-4）x+（2k+1）²=0，
當直線l與拋物線相切時，△=（4k²+2k-4）²-4k²（2k+1）²=0，化為2k²+k-1=0，解得k=-1或

1

2

．
即當k=-1或

1

2

時，直線l與拋物線C只有一個公共點．
綜上可知：當k=0，-1或

1

2

時，直線l與拋物線C只有一個公共點．
（2）k＞0時，直線l的方程為y-1=k（x+2），聯立

y-1=k(x+2) y2=4x

，化為k²x²+（4k²+2k-4）x+（2k+1）²=0，
當直線l與拋物線相交時，△=（4k²+2k-4）²-4k²（2k+1）²＞0，化為2k²+k-1＜0，解得-1＜k＜

1

2

．
故當-1＜k＜

1

2

且k≠0時，直線l與拋物線相交于兩個交點．