Question

如圖，設橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）長軸的右端點為A，短軸端點分別為B、C，另有拋物線y=x²+b．
（Ⅰ）若拋物線上存在點D，使四邊形ABCD為菱形，求橢圓的方程；
（Ⅱ）若a=2，過點B作拋物線的切線，切點為P，直線PB與橢圓相交于另一點Q，求

|PQ|

|QB|

的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）由四邊形ABCD是菱形，得D（a，a²+b），
且

a2+b=2b a2+b2 =2b

，解得a=

3

3

，b=

1

3

，
所以橢圓方程為3x²+9y²=1．
（Ⅱ）不妨設P（t，t²+b）（t≠0），
因為y'|_x=t=2x|_x=t=2t，
所以PQ的方程為y=2t（x-t）+t²+b，即y=2tx-t²+b．
又因為直線PQ過點B，所以-t²+b=-b，即b=

t2

2

．
所以PQ的方程為y=2tx-

t2

2

．
聯立方程組

y=2tx- t2 2 x2 4 + 4y2 t4 =1

，消去y，得（t²+64）x²-32tx=0．
所以點Q的橫坐標為xQ=

32t

t2+64

，
所以

|PQ|

|QB|

=

xP-xQ

xQ-xB2

=

t2

32

+1．
又t²=2b∈（0，4），所以

|PQ|

|QB|

的取值范圍為(1，

9

8

)．