Question

已知函數f（x）=alnx+

1

2

x²-（1+a）x．
（Ⅰ）當a=-1時，求f（x）在點（e，f（e））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅲ）證明：對于任意不小于2的正整數n，不等式

1

ln2

+

1

ln3

…+

1

lnn

＞1-

1

n

恒成立．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）a=1時，f（x）=-lnx+

1

2

x²，通過求導得出斜率k的值，代入點斜式方程即可；
（Ⅱ）將a分情況進行討論：①當a≤0時，②當0＜a＜1時，③a=1時，④a＞1時，從而求出單調區間；
（Ⅲ）當a=-

1

2

時，得到不等式：lnx≤x²-x，當x＞1時，可變化為：

1

lnx

＞

1

x2-x

=

1

(x-1)x

，在上面不等式中分別令x=2，3，4，…，n，從而證出結論．

解答： 解：（Ⅰ）a=1時，
f（x）=-lnx+

1

2

x²，
∴f′（x）=-

1

x

+x，
∴k=f′（e）=e-

1

e

，
∴切線方程為：y=（e-

1

e

）x-

1

2

e²；
（Ⅱ）f（x）=

a

x

+x-（1+a）
=

x2-(1+a)x+a

x

=

(x-1)(x-a)

x

，
①當a≤0時，若0＜x＜1，則f′（x）＜0，若x＞1，則f′（x）＞0，
故此時函數f（x）的單調遞減區間是（0，1），單調遞增區間是（1，+∞），
②當0＜a＜1時，函數f（x）在（0，a），（1，+∞）上遞增，在（1，a）上遞減，
③a=1時，f′（x）=

(x-1)2

x

≥0，函數f（x）的單調遞增區間是（0，+∞），
④a＞1時，同0＜a＜1可得：函數f（x）的單調遞增區間是（0，1），（a，+∞），
遞減區間是（1，a）．
（Ⅲ）當a=-

1

2

時，f（x）=-

1

2

lnx+

1

2

x²-

1

2

x≥0，當且僅當x=1時等號成立，
這個不等式即為：lnx≤x²-x，
當x＞1時，可變化為：

1

lnx

＞

1

x2-x

=

1

(x-1)x

，
在上面不等式中分別令x=2，3，4，…，n，
∴

1

ln2

+

1

ln3

+…+

1

lnn

＞

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

=1-

1

n

，
∴

1

ln2

+

1

ln3

+…+

1

lnn

＞1-

1

n

．

點評：本題考察了函數的單調性，導數的應用，求切線方程，以及不等式的證明，滲透了分類討論思想，是一道綜合題．