Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面平面，、分別為、中點，．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）在棱上是否存在一點，使平面？若存在，指出點的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）不存在；說明見解析

【解析】

（Ⅰ）利用三角形中位線證得，利用線面平行判定定理證得結果；（Ⅱ）取中點，利用面面垂直的性質和正方形的特點可證明出兩兩互相垂直，從而可以為原點建立空間直角坐標系；由線面垂直關系可得面法向量為；再利用向量法求解出平面法向量，利用向量夾角公式求得余弦值，再求得正弦值；（Ⅲ）令，可表示出，若平面，則與平面法向量共線，由共線定理得到方程，方程無解，可知不存在.

（Ⅰ）連接

四邊形為正方形 為中點

又為中點

又平面，平面

平面

（Ⅱ）取中點，連接

平面平面，平面平面，平面

平面

四邊形為正方形且

以為原點，所在直線為坐標軸建立如下圖所示的空間直角坐標系

則，，，

平面即為平面，平面

即為平面的一個法向量，即

設平面的法向量

又，

，即，令，則，

即二面角的正弦值為：

（Ⅲ）令

，

若平面，則，又

，方程無解

棱上不存在一點，使平面