Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）試判斷1是的極大值點還是極小值點，并說明理由；

（Ⅱ）設是函數的導函數，求證： .

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ)證明見解析.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）求出函數定義域，求出，判斷在1的兩側的正負，可得極值是極大還是極小值；

（Ⅱ）由（Ⅰ），求出導函數，為了確定的最小值，需要確定的單調性，以確定的正負，因此又要對求導，確定出在單調遞增， 有唯一零點，且，這是的極小值點，

，現在要證這個極小值大于－1，設，再一次利用導數的知識證明在是單調減函數，從而．

試題解析：

（Ⅰ）的定義域為，

因為 ，所以.

當時， ， ，所以，故在上單調遞增；

當時， ， ，所以，故在上單調遞減；

所以1是函數的極小值.

（Ⅱ）由題意可知， ，

， ，令， ，

則，故在上單調遞增.

又， ，

所以，使得，即，所以，

， 隨的變化情況如下：

所以，

由式得，代入上式得

，

令， ，則，

故在上單調遞減，所以，

又，所以，即，所以.