Question

已知函數(shù)f（x）=x²-alnx的曲線在點（1，1）處的切線方程為y=1，g（x）=x²-x-2

x

+3b．
（1）求f（x）的表達式；
（2）求證：e^x≥ex；
（3）求方程f（x）=g（x）的解的個數(shù)．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,函數(shù)的零點與方程根的關系,導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到f′（1），由f′（1）=0求得實數(shù)a的值，則f（x）的表達式可求；
（2）構造輔助函數(shù)F（x）=e^x-ex，利用導數(shù)求得函數(shù)在實數(shù)集內的最小值，則不等式得到證明；
（3）化方程f（x）=g（x）為x+2

x

-2lnx-3b=0，構造輔助函數(shù)h(x)=x+2

x

-2lnx-3b，由導數(shù)求其最小值，然后對b分類得到方程f（x）=g（x）的解的個數(shù)．

解答： （1）解：由f（x）=x²-alnx，得f′(x)=2x-

a

x

，
∵曲線在點（1，1）處的切線方程為y=1，
∴切線斜率為0．
∴f′（1）=2-a=0，
∴a=2．
∴f（x）=x²-2lnx；
（2）證明：設F（x）=e^x-ex，
則F′（x）=e^x-e，
當x＞1時，F(xiàn)′（x）＞0，
∴x∈（1，+∞）時，F(xiàn)（x）為增函數(shù)；
當x＜1時，F(xiàn)′（x）＜0，
∴x∈（-∞，1）時，F(xiàn)（x）為減函數(shù)；
∴x=1時，F(xiàn)（x）_min=F（1）=0，
∴e^x≥ex；
（3）解：由（1）可知，方程f（x）=g（x），即x+2

x

-2lnx-3b=0．
設h(x)=x+2

x

-2lnx-3b，
則h′(x)=1+

1

x

-

2

x

．
令h′（x）＞0，并由x＞0，解得x＞1；
令h′（x）＜0，并由x＞0，解得0＜x＜1
列表分析：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
h′（x）	-	0	+
h（x）	遞減	極小值0	遞增

知h（x）在x=1處取最小值3-3b，
（ⅰ）當b=1時，h（1）=0，在x＞0且x≠1時，h（x）＞0，
∴h（x）=0在（0，+∞）上只有一個解，
即當b=1方程f（x）=g（x）有唯一解；
（ⅱ）當b＜1時，h（1）＞0，在x＞0且x≠1時，h（x）＞0，
∴h（x）=0在（0，+∞）上無實數(shù)解，
即當b＜1方程f（x）=g（x）的解的個數(shù)為零．
（ⅲ）當b＞1時，h（1）＜0，
又h(e-3b)=e-3b+2

e-3b

+6b-3b＞0，
故函數(shù)h（x）在區(qū)間（e^-3b，1）上有一個零點；
由（2）知h（e^10b）=e10b+2

e10b

-2lne10b-3b≥10eb+2

e10b

-23b＞0，
故函數(shù)h（x）在區(qū)間（1，e^10b）上有一個零點，
∴b＞1時，h（x）=0在（0，+∞）上有兩個實數(shù)解，即方程f（x）=g（x）的解的個數(shù)為2．
綜上，方程f（x）=g（x）的解的個數(shù)為：
b=1時1個，b＜1時0個，b＞1時2個．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用基本不等式求函數(shù)的最值，訓練了分類討論的數(shù)學思想方法，考查了學生的邏輯思維能力，是高考試卷中的壓軸題．