Question

設命題p：2x²-3x+1≤0，命題q：x²-（2a+1）x+a（a+1）≥0，若“￢p⇒￢q”為假命題，“￢q⇒￢p”為真命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡易邏輯

分析：若“￢p⇒￢q”為假命題，“￢q⇒￢p”為真命題，則“q⇒p”為假命題，“p⇒q”為真命題，故p是q充分不必要條件，則2x²-3x+1≤0的解集P，x²-（2a+1）x+a（a+1）≥0的解集Q，滿足P?Q．

解答： 解：不等式2x²-3x+1≤0的解集P=[

1

2

，1]，
不等式x²-（2a+1）x+a（a+1）≥0的解集Q=（-∞，a]∪[a+1，+∞），
∵“￢p⇒￢q”為假命題，“￢q⇒￢p”為真命題，
∴“q⇒p”為假命題，“p⇒q”為真命題，
∴p是q充分不必要條件，
∴P?Q，
∴a+1≤

1

2

或a≥1，
故實數a的取值范圍為：（-∞，-

1

2

]∪[1，+∞）．

點評：本題考查必要條件、充分條件、充要條件的判斷，解題時要認真審題，仔細解答，注意避免不必要錯誤的發生．