Question

【題目】某企業要設計制造一批大小、規格相同的長方體封閉水箱，已知每個水箱的表面積為432（每個水箱的進出口所占面積與制作材料的厚度均忽略不計）．每個長方體水箱的底面長是寬的2倍．現設每個長方體水箱的底面寬是，用表示每個長方體水箱的容積．

（1）試求函數的解析式及其定義域；

（2）當為何值時，有最大值，并求出最大值．

Answer 1

【答案】（1），定義域為；（2）當時，有最大值，為576．

【解析】

（1）由題意得長方體的高 ，根據長方體的體積公式可得，然后根據實際情況得到定義域．（2）利用導數判斷出函數的單調性，進而可得最值．

（1）依題意，每個長方體水箱的底面寬是，則長是，設其高為，

所以其表面積為，

解得 ，

所以，

由，解得，

所以函數的定義域為．

（2）由（1）知 ，

所以，

所以當時，，當時，．

從而在上單調遞增，在上單調遞減；

故當時，．