Question

【題目】已知橢圓C：（），其中離心率，點為橢圓上的動點，為橢圓的左右焦點，若面積的最大值為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）直線 交橢圓于兩點，點是橢圓的上頂點，若，試問直線是否經過定點，若經過定點，求出定點坐標，否則說明理由．

Answer 1

【答案】(1)； (2)直線恒過定點

【解析】

（1）直接由離心率及面積的最大值和之間的關系求出橢圓的標準方程；

（2）由（1）知點坐標，假設直線，聯立與橢圓的方程，得出兩根之和兩根之積，由直線垂直得數量積為零求出過的定點．

(1)由題意得：e，，，

解得：，所以橢圓的C的標準方程：；

(2)由(1)得，，顯然直線的斜率存在，設直線的方程：，

設，

聯立方程與橢圓的方程整理得：，

，即，

所以， ，

所以， ，

因為，∴，

∴ ，∴，，

∴，解得：，

當時，直線過B點不符合條件，舍去，

當時，符合，

所以直線恒過定點．