Question

【題目】設函數，其中是自然對數的底數.

（1）若，，證明；

（2）是否存在實數，使得函數在區間上有兩個零點？若存在，求出的取值范圍：若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）不存在實數，詳見解析

【解析】

（1）分類討論，時直接證明，時，利用導數研究函數的單調性，最小值可證得不等式成立；

（2）時，由（1）可知無零點，時，仍然利用導數研究函數的單調性，函數極值，結合零點存在定理確定零點個數．

（1）證明：①若，則當時，，，所以；

②若，因為，

設，，

當時，，所以在上單調遞增，

所以，

所以在上單調遞增，所以，

綜上所述，若，，則.

（2）不存在實數，使得函數在區間上有兩個零點.

理由如下：

（1）若，由（1）知，在上單調遞增，且，所以函數在區間上無零點；

（2）若，由（1）知，當時，

所以在上單調遞增.因為，，

所以在上存在唯一的零點，

即方程在上存在唯一解，

且當時，，當，，

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，

當時，，所以在無零點；

當時，，，

所以在上有唯一零點，

故當時，在上有一個零點，

綜上所述，不存在實數，使得函數在區間上有兩個零點.