Question

【題目】如圖（1），在平面五邊形中，已知四邊形為正方形，為正三角形.沿著將四邊形折起得到四棱錐，使得平面平面，設(shè)在線段上且滿足，在線段上且滿足，為的重心，如圖（2）.

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，可知三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線.，因而可得為的重心，再利用線面平行的判定，及可證出；

（2）根據(jù)條件，通過(guò)面面垂直的性質(zhì)，證出平面，建立空間直角坐標(biāo)系，標(biāo)點(diǎn)，求及平面的法向量為，通過(guò)利用空間向量法求出線面角.

（1）如圖，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接.

由已知易得三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線.

因?yàn)?/span>，，所以.

又為的重心，所以，

所以.

因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面.

（2）在中，因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以.

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，平面，

所以平面.

由（1）得，.

所以兩兩垂直，如圖，

分別以射線的方向?yàn)?/span>軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，因?yàn)?/span>，，所以，

所以，.

所以，，，.

所以，，.

設(shè)平面的法向量為，則

所以令，則，所以可取.

設(shè)直線與平面所成的角為，則

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