Question

已知函數f(x)=cos(2x+

π

3

)+2cos2x．
（Ⅰ）求函數f（x）的周期及遞增區間；
（Ⅱ）求函數f（x）在[-

π

3

，

π

3

]上值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角的余弦函數公式以及兩角和的正弦函數化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，利用正弦函數的正確直接求函數f（x）的周期，通過正弦函數的單調減區間求出函數的單調增區間；
（Ⅱ）通過[-

π

3

，

π

3

]，求出相位的范圍，通過正弦函數值域求解即可．

解答：解：函數f(x)=cos(2x+

π

3

)+2cos2x
=cos2xcos

π

3

-sin2xsin

π

3

+cos2x+1
=

3

2

cos2x-

3

2

sin2x+1
=1-

3

sin（2x-

π

3

）．
（Ⅰ）函數f（x）的周期T=π，
由∵

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z
∴

5π

12

+kπ≤x≤

11π

12

+kπ，k∈Z
所以y=1-

3

sin（2x-

π

3

）的單調增區間是[

5π

12

+kπ，

11π

12

+kπ]；
（Ⅱ）∵x∈[-

π

3

，

π

3

]，∴2x-

π

3

∈[-π，

π

3

]，
∴-1≤sin（2x-

π

3

）≤

3

2

，
函數f（x）在[-

π

3

，

π

3

]上值域為：[-

1

2

，

3

+1]．

點評：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，以及正弦函數的圖象與性質，熟練掌握公式是解本題的關鍵．