Question

【題目】某市為了鼓勵市民節約用電，實行“階梯式”電價，將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不超過200度的部分按元/度收費，超過200度但不超過400度的部分按元/度收費，超過400度的部分按1.0元/度收費．

（Ⅰ）求某戶居民用電費用（單位：元）關于月用電量（單位：度）的函數解析式；

（Ⅱ）為了了解居民的用電情況，通過抽樣，獲得了今年1月份100戶居民每戶的用電量，統計分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖，若這100戶居民中，今年1月份用電費用不超過260元的占，求， 的值；

（Ⅲ）在滿足（Ⅱ）的條件下，若以這100戶居民用電量的頻率代替該月全市居民用戶用電量的概率，且同組中的數據用該組區間的中點代替，記為該居民用戶1月份的用電費用，求的分布列和數學期望．

Answer 1

【答案】（1）；（2）， ；（3）見解析.

【解析】試題分析: （1）根據題意分段表示出函數解析式;（2）將代入（1）中函數解析式可得，即，根據頻率分布直方圖可分別得到關于的方程,即可得;（3）取每段中點值作為代表的用電量,分別算出對應的費用值,對應得出每組電費的概率,即可得到的概率分布列,然后求出的期望.

試題解析:（1）當時， ；

當當時， ；

當當時， ，所以與之間的函數解析式為

.

（2）由（1）可知，當時， ，則，結合頻率分布直方圖可知

，∴，

（3）由題意可知可取50，150，250，350，450，550，

當時， ，∴，

當時， ，∴，

當時， ，∴，

當時， ，∴，

當時， ，∴，

當時， ，∴，

故的概率分布列為

	25	75	140	220	310	410
	0.1	0.2	0.3	0.2	0.15	0.05

所以隨機變量的數學期望