Question

（本小題滿分13分）已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線相切，分別是橢圓的左右兩個頂點， 為橢圓上的動點.
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若與均不重合，設直線與的斜率分別為，證明：為定值；
（Ⅲ）為過且垂直于軸的直線上的點，若，求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意可得圓的方程為，
∵直線與圓相切，∴，即，       又，即，，解得，，
所以橢圓方程為．        ------------3分
（Ⅱ）設， ，，則，即， 則，，
即，
∴為定值．             ------------6分
（Ⅲ）設，其中．
由已知及點在橢圓上可得，
整理得，其中．----8分
①當時，化簡得，
所以點的軌跡方程為，軌跡是兩條平行于軸的線段；                   -------------9分
②當時，方程變形為，其中，
當時，點的軌跡為中心在原點、實軸在軸上的雙曲線滿足的部分；          -------------11分
當時，點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓滿足的部分；          -------------12分
當時，點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓．
-------------13分

略