Question

（本小題共13分）已知橢圓的右焦點為，為橢圓的上頂點，為坐標原點，且△是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在直線交橢圓于，兩點， 且使點為△的垂心（垂心：三角形三邊高線的交點）？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由△是等腰直角三角形，得，，
故橢圓方程為．   　　　　               …………5分
（Ⅱ）假設存在直線交橢圓于，兩點，且為△的垂心，
設，
因為，，故．                    …………7分
于是設直線的方程為，
由得．
由，得， 且,．   ……9分
由題意應有，又，
故，
得．
即．
整理得．
解得或．                              …………12分
經檢驗，當時，△不存在，故舍去．
當時，所求直線存在，且直線的方程為．
…………13分

本題考查橢圓的方程和直線與橢圓的相交問題，考查學生利用待定系數法和解析法的解題能力. 待定系數法：如果題目給出是何曲線，可根據題目條件，恰當的設出曲線方程，然后借助條件進一步確定求橢圓的標準方程應從“定形”“定式”“定量”三個方面去思考。“定形”是指對稱中心在原點，焦點在哪條對稱軸上；“定式”是指根據“形”設出相應的橢圓方程的具體形式；“定量”是指利用定義法或待定系數法確定的值.本題第一問利用橢圓的離心率和直線與橢圓相切判別式為0得到兩個等式求解的值；關于直線與圓錐曲線位置關系的存在性問題，一般先假設存在滿足題意的元素，經過推理論證，如果得到可以成立的結果，就可以作出存在的結論；若得到與已知條件、定義、公理、定理、性質相矛盾的量，則說明假設不成立.本題的第二問就是利用這個解題思路，借助韋達定理和距離公式進行轉化和探索.