Question

【題目】已知橢圓（）的左右焦點分別為，，已知其離心率為，且過點.

（1）求橢圓的標準方程.

（2）設，是橢圓上位于軸上方的兩點，且直線與直線平行，與交于點，探究是否為定值？如果為定值，請求出該定值；如果不為定值，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2），理由見解析.

【解析】

（1）根據離心率為，且過點，結合性質 ，列出關于 、 、的方程組，求出 、，即可得結果；（2）利用橢圓定義可得，設直線，的方程分別為，，求得， ，代入化簡即可得結果.

（1）由題可知：，，可得

，，所該橢圓的方程為；

（2）如圖，

由（1）問可知，，又因為，

所以，即，

所以，于是，

由點在橢圓上，可知，

可得.同理

所以

設直線，的方程分別為，，，，，

則

所以

同理得，

可得，，

，即為定值.