Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點E在棱PB上．
（Ⅰ）求證：PB⊥AC；
（Ⅱ）當PD=2AB，E在何位置時，PB⊥平面EAC；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的情況下，求二面E-AC-B的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標系，證明

AC

•

PB

=0即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC⊥PB，故只要AE⊥PB即可，設

PE

=λ

PB

，利用AE⊥PB得（λa-a，λa，2a-2λa）•（a，a，-2a）=0，即可得出結論；
（Ⅲ）＜

OB

，

OE

＞等于二面E-AC-B的平面角，利用向量的夾角公式，即可求解．

解答： （Ⅰ）證明：以D為原點DA、DC、DP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設AB=a，PD=h． 
則A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），D（0，0，0），P（0，0，h），
∵

AC

=（-a，a，0），

PB

=（a，a，-h）
∴

AC

•

PB

=0
∴AC⊥PB…（4分）
（Ⅱ）解：當PD=2AB時，P（0，0，2a），

PB

=（a，a，-2a）
由（Ⅰ）知AC⊥PB，故只要AE⊥PB即可
設

PE

=λ

PB

，P（x，y，z），則E（λa，λa，2a-2λa）
∴

AE

=（λa-a，λa，2a-2λa）
由AE⊥PB得（λa-a，λa，2a-2λa）•（a，a，-2a）=0
∴λ=

5

6

∴

PE

=

5

6

PB

，PB⊥平面EAC；…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知E（

5

6

a，

5

6

a，

1

3

a），設AC∩BD=O，則

OB

⊥

AC

，

OE

⊥

AC

，
∴＜

OB

，

OE

＞等于二面E-AC-B的平面角
∵

OB

=（

a

2

，

a

2

，0），

OE

=（

1

3

a，

1

3

a，

1

3

a）
∴cos＜

OB

，

OE

＞=

6

3

∴二面角E-AC-B的余弦值為

6

3

…..（13分）

點評：本題考查與二面角有關的立體幾何綜合題，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，正確求出向量的坐標是關鍵．