Question

巳知函數f（x）=x²-2ax-2alnx，g（x）=ln²x+2a²，其中x＞0，a∈R．
（Ⅰ）若x=1是函數f（x）的極值點，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在區間（2，+∞）上單調遞增，求a的取值范圍；
（Ⅲ）記F（x）=f（x）+g（x），求證：F(x)≥

1

2

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）根據極點的定義很容易求出a的值，由于只是導函數在一點的導數等于0，不能說明這一點是極點，所以求出a之后需驗證它是否是極點．
（Ⅱ）由f（x）在區間（2，+∞）上單調遞增，便得到在該區間上f′（x）≥0，然后用x表示a，即得到a≤

x2

x+1

，只需求

x2

x+1

的范圍即可．
（Ⅲ）求出F（x）=x²-2ax-2alnx+ln²x+2a²，通過觀察F（x）的解析式的形式，能夠想到解析式里可能存在完全平方式，所以試著構造完全平方式，結果能構造出完全平方式，并得到：F（x）=2(a-

x+lnx

2

)2+

(x-lnx)2

2

≥

(x-lnx)2

2

，所以只要x-lnx≥1即可，這點的說明，利用求導數，根據單調性判斷即可．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=2x-2a-

2a

x

=

2x2-2ax-2a

x

(x＞0)；
∵x=1是函數f（x）的極值點；
∴f′（1）=2-2a-2a=0，解得a=

1

2

；
經檢驗x=1為函數f（x）的極值點，所以a=

1

2

．
（II）∵f（x）在區間（2，+∞）上單調遞增；
∴f′(x)=

2x2-2ax-2a

x

≥0在區間（2，+∞）上恒成立；
∴a≤

x2

x+1

對區間（2，+∞）恒成立；
令M(x)=

x2

x+1

，則M′(x)=

2x(x+1)-x2

(x+1)2

=

x2+2x

(x+1)2

；
當x∈（2，+∞）時，M′（x）＞0，有M(x)=

x2

x+1

＞M(2)=

4

3

；
∴a的取值范圍為(-∞，

4

3

]．                    
（Ⅲ）F（x）=x²-2ax-2alnx+ln²x+2a²=2[a2-(x+lnx)a+

x2+ln2x

2

]；
令P(a)=a2-(x+lnx)a+

x2+ln2x

2

；
則P(a)=(a-

x+lnx

2

)2-(

x+lnx

2

)2+

x2+ln2x

2

=(a-

x+lnx

2

)2+

(x-lnx)2

4

≥

(x-lnx)2

4

；
令Q（x）=x-lnx，則Q′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

；
顯然Q（x）在（0，1]上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增；
則Q（x）_min=Q（1）=1，則P(a)≥

1

4

；
故F(x)≥2×

1

4

=

1

2

．

點評：第一問中的a是比較容易求出的，然而需驗證求的a符合題意，這需要理解極值的定義．第二問是根據函數導數符號與函數單調性的關系去求解的，而比較關鍵的是得到a≤

x2

x+1

．第三問的關鍵是構造完全平方式，使一個完全平方式里含a，另一個不含a，因為a的值不確定，并且要證的不等式的右邊不含a．