Question

設等比數列{a_n}的各項均為正數，項數是偶數，它的所有項的和等于偶數項和的4倍，且第二項與第四項的積是第3項與第4項和的9倍，問數列{lga_n}的前多少項和最大？(lg2=0.3,lg3=0.4)

Answer 1

{lga_n}的前5項和最大

解法一: 設公比為q,項數為2m,m∈N^*,依題意有

化簡得.
設數列{lga_n}前n項和為S_n,則
S_n=lga₁+lga₁q²+…+lga₁q^n－1=lga₁ⁿ·q^{1+2+…+(n－1)}
=nlga₁+n(n－1)·lgq=n(2lg2+lg3)－n(n－1)lg3
=(－)·n²+(2lg2+lg3)·n
可見，當n=時，S_n最大.
而=5,故{lga_n}的前5項和最大.
解法二: 接前，,于是lga_n=lg［108()^n－1］=lg108+(n－1)lg,
∴數列{lga_n}是以lg108為首項，以lg為公差的等差數列，
令lga_n≥0,得2lg2－(n－4)lg3≥0,
∴n≤=5.5. 
由于n∈N^*,可見數列{lga_n}的前5項和最大.