Question

若數列的前項和是二項展開式中各項系數的和．
（Ⅰ）求的通項公式；
（Ⅱ）若數列滿足，且，求數列 的通
項及其前項和；
（III）求證：．

Answer 1

，

解：（Ⅰ）由題意,                -----------------------------------------------------2分
,
兩式相減得．                --------------------3分
當時，,
∴．            --------------------------------------------------4分
（Ⅱ）∵，
∴,
,
,
………
．
以上各式相加得
.
∵  ,
∴.       -----------------------------------------------------------------6分
∴．     -------------------------------------------------7分
∴,
∴.
∴.

=.
∴．  -------------------------------------------------------------9分
（3）=
=4+

=
．  -------------------------------------------12分
∵, ∴需證明，用數學歸納法證明如下：
①當時，成立．
②假設時，命題成立即，
那么，當時，成立．
由①、②可得，對于都有成立．
∴．
∴．---------------------------------------------------------------------------13分