Question

已知數列{b_n}是等差數列，b₁=1,b₁+b₂+…+b₁₀=145.
(1)求數列{b_n}的通項b_n；
(2)設數列{a_n}的通項a_n=log_a(1+)(其中a＞0且a≠1),記S_n是數列{a_n}的前n項和，試比較S_n與log_ab_n+1的大小，并證明你的結論.

Answer 1

(1) b_n=3n－2 (2) 當a＞1時，S_n＞log_ab_n+1；當0＜a＜1時，S_n＜log_ab_n+1

(1)設數列{b_n}的公差為d，由題意得 
解得b₁=1,d=3,∴b_n=3n－2.
(2)由b_n=3n－2,知S_n=log_a(1+1)+log_a(1+)+…+log_a(1+)
=log_a［(1+1)(1+)…(1+)］，log_ab_n+1=log_a.
因此要比較S_n與log_ab_n+1的大小，
可先比較(1+1)(1+)…(1+)與的大小，
取n=1時，有(1+1)＞
取n=2時，有(1+1)(1+)＞…
由此推測(1+1)(1+)…(1+)＞    ①
若①式成立，則由對數函數性質可判定:
當a＞1時，S_n＞log_ab_n+1，                                ②
當0＜a＜1時，S_n＜log_ab_n+1，                          ③
下面用數學歸納法證明①式.
(ⅰ)當n=1時，已驗證①式成立.
(ⅱ)假設當n=k時(k≥1），①式成立，即:
 那么當n=k+1時，


 
這就是說①式當n=k+1時也成立.
由(ⅰ）(ⅱ）可知①式對任何正整數n都成立.
由此證得:當a＞1時，S_n＞log_ab_n+1；當0＜a＜1時，S_n＜log_ab_n+1