Question

【題目】在四棱錐P–ABCD中，，．

（1）設AC與BD相交于點M，，且平面PCD，求實數m的值；

（2）若，，，且，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）

（2）

【解析】

（1）由AB∥CD，得到，由MN∥平面PCD，得MN∥PC，從而，由此能實數m的值；

（2）由AB＝AD，∠BAD＝60°，知△ABD為等邊三角形，推導出PD⊥DB，PD⊥AD，從而PD⊥平面ABCD，以D為坐標原點，的方向為x，y軸的正方向建立空間直角坐標系，由此能求出二面角B﹣PC﹣B的余弦值．

解：（1）因為，所以，即.

因為平面PCD，平面PAC，平面平面，

所以．

所以，即.

（2）因為，，可知為等邊三角形，

所以，又，

故，所以．

由已知，，所以平面ABCD，

如圖，以D為坐標原點，的方向為x，y軸的正方向建立空間直角坐標系，

設，則，，

所以，，，，

則，，

設平面PBC的一個法向量為，則有

即.

令，則，即，

設平面APC的一個法向量為，則有

，即

令，則，即．

所以

設二面角的平面角為，則.