Question

【題目】某廠家舉行大型的促銷活動，經測算某產品當促銷費用為萬元時，銷售量萬件滿足（其中， 為正常數），現假定生產量與銷售量相等，已知生產該產品萬件還需投入成本萬元（不含促銷費用），產品的銷售價格定為萬元/萬件.

（1）將該產品的利潤萬元表示為促銷費用萬元的函數；

（2）促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大.

Answer 1

【答案】（1）y=25－（+x），（0≤x≤a，a為正常數）（2）見解析

【解析】試題分析：

（1）利潤為總銷售所得減去投入成本和促銷費用，得y=t(5+）)﹣(10+2t）﹣x=3t+10－x，又銷售量t萬件滿足t=5－，整理化簡可得y=25－（+x）；（2）將函數方程整理為對勾函數形式y =28－（+x+3），利用基本不等式得到= x +3，即x =3時，得到利潤最大值為。

試題解析：

（1）由題意知，利潤y=t(5+）)﹣(10+2t）﹣x=3t+10－x

由銷售量t萬件滿足t=5－（其中0≤x≤a，a為正常數）．

代入化簡可得：y=25－（+x），（0≤x≤a，a為正常數）

（2）由（1）知y =28－（+x+3），

當且僅當= x +3，即x =3時，上式取等號．

當a≥3時，促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大；

當0＜a＜3時，y在0≤x≤a上單調遞增，

x = a，函數有最大值．促銷費用投入x = a萬元時，廠家的利潤最大．

綜上述，當a≥3時，促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大；

當0＜a＜3時，促銷費用投入x = a萬元時，廠家的利潤最大．