Question

【題目】已知橢圓,圓的圓心在橢圓上，點到橢圓的右焦點的距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點作互相垂直的兩條直線,且交橢圓于兩點, 直線交圓于兩點, 且為的中點, 求的面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）首先運用兩點間的距離公式求得的值，然后根據圓的圓心在橢圓上得到關于的方程，由此求得的值，從而得到橢圓的方程；（2）首先由題意得的斜率不為零，然后求得當垂直軸的面積；當不垂直軸時, 設出直線的方程，并聯立橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，由三角形的面積公式化簡整理，再利用換元法結合的單調性求得的面積的取值范圍．

試題解析：（1）因為橢圓 的右焦點．

在橢圓上,．

由得所以橢圓的方程為.

（2）由題意可得的斜率不為零, 當垂直軸時,的面積為,

當不垂直軸時, 設直線的方程為：，

則直線的方程為：．

由消去得,所以,

則，

又圓心到的距離得，

又,所以點到的距離點到的距離．

設為,即，

所以面積，

令,則,,

綜上, 的面積的取值范圍為.