Question

【題目】如圖，拋物線C1：y2=2px與橢圓C2： 在第一象限的交點為B，O為坐標原點，A為橢圓的右頂點，△OAB的面積為 ．
（1）求拋物線C1的方程；
（2）過A點作直線L交C1于C、D兩點，求線段CD長度的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，焦點在軸，頂點A（4，0），

∵△OAB的面積為 ，S△OAB= xAyB= ，

∴yB= ，

將yB= ，代入橢圓方程得xB= ，

∴B點坐標為（ ， ），

將B點坐標代入拋物線方程：求得（ ）2=2P× ，解得p=4，

∴拋物線C1的方程是：y2=8x

（2）解：拋物線C1y2=8x的焦點為A（2，0）．

設C（x1，y1），D（x2，y2），直線CD的方程為：x﹣4=my，將直線方程代入y2=8x，得：y2﹣8my﹣32=0，

由韋達定理可知：y1+y2=8m，y1y2=﹣32，

∴丨CD丨= = ，

=8 ，

=8 ，

∴當m2=0時，CD長度取最小值，最小值為8

【解析】（1）根據三角形面積公式求得B點的縱坐標，代入橢圓方程，求得B點橫坐標，代入拋物線方程求p的值，即可寫出拋物線方程；（2）設出C和D點的坐標及直線CD的方程，代入拋物線方程，求得關于y的一元二次方程，利用根與系數的關系，寫出y1+y2和y1y2的表達式，根據拋物線弦長公式，求得CD的最小值．