Question

【題目】（本小題滿分14分）

設函數，其中．

( I )若函數圖象恒過定點P，且點P在的圖象上，求m的值；

(Ⅱ)當時，設，討論的單調性；

(Ⅲ)在(I)的條件下，設，曲線上是否存在兩點P、Q，

使△OPQ(O為原點)是以O為直角頂點的直角三角形，且該三角形斜邊的中點在y軸上？如果存在，求a的取值范圍；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】( I )；(Ⅱ)當m≥0時，在(0，＋∞)上為增函數；當m＜0時，在上為增函數，在上為減函數.(Ⅲ)存在，.

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）令，則，即函數的圖象恒過定點

則

（Ⅱ），定義域為，

=

=

，則

當時，

此時在上單調遞增，

當時，由得

由得，

此時在上為增函數，

在為減函數，

綜上當時，在上為增函數，

時，在上為增函數，在為減函數，

（Ⅲ）由條件（Ⅰ）知

假設曲線上存在兩點、滿足題意，則、兩點只能在軸兩側

設，則

是以為直角頂點的直角三角形，

①

（1）當時，

此時方程①為，化簡得.

此方程無解，滿足條件的、兩點不存在.

（2）當時，，方程①為

即

設，則

顯然當時即在上為增函數，

的值域為，即，

綜上所述，如果存在滿意條件的、，則的取值范圍是.