Question

【題目】已知函數f（x）=
（1）求f（x）在[1，m]（m＞1）上的最小值；
（2）若關于x的不等式f2（x）﹣nf（x）＞0有且只有三個整數解，求實數n的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= ，令f′（x）＞0，得f（x）的遞增區間為（0， e）；

令f′（x）＜0，得f（x）的遞減區間為（ e，+∞），

∵x∈[1，m]，則當1≤m≤ e時，f（x）在[1，m]上為增函數，

f（x）的最小值為f（1）= ；

當m＞ e時，f（x）在[1， e）上為增函數，

在（ e，m]上為減函數，又f（3）= =f（1），

∴若 e＜m≤3，f（x）的最小值為f（1）= ，

若m＞3，f（x）的最小值為f（m）= ，

綜上，當1≤m≤3時，f（x）的最小值為f（1）= ；

當m＞3，f（x）的最小值為f（m）=

（2）解：由（1）知，f（x）的遞增區間為（0， e），遞減區間為（ e，+∞），

且在（ e，+∞）上，ln x＞lne=1＞0，又x＞0，則f（x）＞0，又f（ ）=0，

∴n＜0時，由不等式f2（x）﹣nf（x）＞0得f（x）＞0或f（x）＜n，

而f（x）＞0的解集為（ ，+∞），整數解有無數多個，不合題意；

n=0時，由不等式f2（x）﹣nf（x）＞0，得f（x）≠0，解集為（0， ）∪（ ，+∞），

整數解有無數多個，不合題意；

n＞0時，由不等式f2（x）﹣nf（x）＞0，得f（x）＞n或f（x）＜0，

∵f（x）＜0的解集為（0， ）無整數解，

若不等式f2（x）﹣nf（x）＞0有且只有三個整數解，

∵f（x）在（0， e）遞增，在（ e，+∞）遞減，

而1＜ e＜2，f（1）=f（3），

所以，三個正整數為1，2，3，而f（4）= ，

綜上，實數n的取值范圍是[ ， ）

【解析】（1）求出函數的導數，通過討論m的范圍，求出函數的單調區間，從而求出函數f（x）在閉區間上的最小值即可；（2）根據f（x）的單調性，通過討論n的符號，解關于f（x）的不等式結合不等式解的個數，求出n的范圍即可．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．