Question

【題目】已知橢圓E：的焦點在x軸上，拋物線C：與橢圓E交于A，B兩點，直線AB過拋物線的焦點．

（1）求橢圓E的方程和離心率e的值；

（2）已知過點H（2，0）的直線l與拋物線C交于M、N兩點，又過M、N作拋物線C的切線l1，l2，使得l1⊥l2，問這樣的直線l是否存在？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）利用拋物線的方程求出點的坐標，代入橢圓的方程，即可求得的值，進而得到離心率的值；

（2）設直線 的方程為，由拋物線的方程得，則，所以切線的斜率分別為，，有題設條件得，再由直線的方程和拋物線的方程聯立，利用韋達定理，得，即可求得，得到直線的方程.

（1）∵x2＝2py，∴，∴代入得

∴代點A到得t＝4．

∴橢圓E：，a＝2，b＝1，∴，∴離心率．

（2）依題意，直線l的斜率必存在，

設直線l的方程為y＝k（x－2），M（x1，y1），N（x2，y2）．

因為所以

所以切線l1，l2的斜率分別為，．

當l1⊥l2時，，即x1x2＝－2．

由得，

所以，解得．

又恒成立，

所以存在直線l的方程是，即