Question

（1）已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的焦距為10，點P（2，1）在C的漸近線上，求C的方程．
（2）已知橢圓C：

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞0，n＞0）的右焦點與拋物線y²=8x的焦點相同，離心率為

1

2

，求橢圓C的方程．

Answer 1

考點：橢圓的標準方程,雙曲線的標準方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）利用雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的焦距為10，點P（2，1）在C的漸近線上，可得2c=10，

b

a

=

1

2

，求出a，b，可得雙曲線的方程；
（2）求出拋物線的焦點坐標，利用橢圓右焦點與拋物線y²=8x的焦點相同，離心率為

1

2

，即可求橢圓C的方程．

解答： 解：（1）∵雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的焦距為10，點P（2，1）在C的漸近線上，
∴2c=10，

b

a

=

1

2

，
∴c=5，a=2

5

，b=

5

，
∴雙曲線C的方程為

x2

20

-

y2

5

=1；
（2）拋物線y²=8x的焦點為（2，0），
∵橢圓C：

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞0，n＞0）的右焦點與拋物線y²=8x的焦點相同，離心率為

1

2

，
∴

2

m

=

1

2

，∴m=4
∴n=

42-22

=12，
∴橢圓C的方程為

x2

16

+

y2

12

=1．

點評：本題考查橢圓、雙曲線的標準方程，考查橢圓、雙曲線的幾何性質，考查學生的計算能力，屬于基礎題．