Question

已知實數x、y滿足x²+y²=3（y≥0），m=

y+1

x+3

，b=2x+y．求證：
（1）

3- 3

6

≤m≤

3+ 21

6

；
（2）-2

3

≤b≤

15

．

Answer 1

考點：不等式的基本性質

專題：不等式

分析：（1）由題意可知的m=

y+1

x+3

幾何意義是：圓上的點與（-3，-1）連線的斜率，作出圖形，求出直線的斜率即可．
（2））b可看做斜率為-2過在圓x²+y²=3（y≥0）上點P（x，y）的直線在y軸上的截距，求出截距即可

解答： 解：（1）由題意可知的m=

y+1

x+3

幾何意義是：圓上的點與（-3，-1）連線的斜率，
作出圖形，可知k₁≤m≤k₂．（k₁，k₂分別為直線AM₁，AM₂的斜率），
k₁=

1

3+ 3

=

3- 3

6

，
圓心到切線k₂x-y+3k₂-1=0的距離為d=

|3k2-1|

k2 2+1

=

3

，
解得k₂=

3± 21

6

（負值舍去），
故所求m的范圍是：

3- 3

6

≤m≤

3+ 21

6

．
問題得以證明．
（2）b可看做斜率為-2過在圓x²+y²=3（y≥0）上點P（x，y）的直線在y軸上的截距，由圖可知n₂≤b≤n₁，P₂C的方程為y=-2（x+

3

）令x=0，
y=n₂=-2

3

，
因為圓心到切線P₁B：2x+y+c=0的距離為d=

|c|

5

=

3

，
解得c=±

15

，n₁=

15

，
∴-2

3

≤b≤

15

點評：本題是中檔題，考查圓的方程與直線的斜率的關系，考查數形結合，注意圓的方程的范圍，考查計算能力．