Question

已知橢圓經過點（p，q），離心率．其中p，q分別表示標準正態分布的期望值與標準差．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線x=my+1與橢圓C交于A，B兩點，點A關于x軸的對稱點為A'．①試建立△AOB的面積關于m的函數關系；②莆田十中高三（1）班數學興趣小組通過試驗操作初步推斷：“當m變化時，直線A'B與x軸交于一個定點”．你認為此推斷是否正確？若正確，請寫出定點坐標，并證明你的結論；若不正確，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由p，q分別表示標準正態分布的期望值與標準差，可知橢圓過點（0，1），又離心率，從而可求橢圓C的方程；
（2）①將直線x=my+1與橢圓C聯立，易求S==； ②取特殊點，直線A′B：x+4y-4=0與x軸的交點為S（4，0），猜想直線A′B與x軸交于定點S（4，0），再進行證明．
解答：解：（1）依題意橢圓過點（0，1），從而可得（2分）
解得a=2，b=1．（3分），所以橢圓C的方程是．（4分）
（2）①由得（my+1）²+4y²=4，即（m²+4）y²+2my-3=0．（5分）
記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則．（6分），易求S==（8分）                                         
②特別地，令y₁=-1，則
此時，直線A′B：x+4y-4=0與x軸的交點為S（4，0）
若直線A′B與x軸交于一個定點，則定點只能為S（4，0）（9分）
以下證明對于任意的m，直線A′B與x軸交于定點S（4，0）
事實上，經過點A′（x₁，-y₁），B（x₂，y₂）的直線方程為．
令y=0，得．
只需證明，（11分）即證，即證2my₁y₂-3（y₁+y₂）=0．
因為，所以2my₁y₂-3（y₁+y₂）=0成立．
這說明，當m變化時，直線A′B與x軸交于點S（4，0）（13分）
點評：本題主要考查橢圓標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，對于恒過定點問題，通常先猜后證，主要細細體會．