Question

（本小題滿分12分）

已知橢圓經過點M（-2，-1），離心率為。過點M作傾斜角

 

互補的兩條直線分別與橢圓C交于異于M的另外兩點P、Q。

（I）求橢圓C的方程；

（II）能否為直角？證明你的結論；

（III）證明：直線PQ的斜率為定值，并求這個定值。

 

Answer 1

【答案】

解：

（Ⅰ）由題設，得＋＝1，                                                                     ①

 

且＝，                                                                               ②

 

由①、②解得a2＝6，b2＝3，

橢圓C的方程為＋＝1．………………………………………………………4分

 

（Ⅱ）記P(x1，y1)、Q(x2，y2)．

設直線MP的方程為y＋1＝k(x＋2)，與橢圓C的方程聯立，得

(1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0，

－2，x1是該方程的兩根，則－2x1＝，x1＝．

 

設直線MQ的方程為y＋1＝－k(x＋2)，

同理得x2＝．…………………………………………………………8分

 

因y1＋1＝k(x1＋2)，y2＋1＝－k(x2＋2)，

 

因此直線PQ的斜率為定值．……………………………………………………12分

 

【解析】略