Question

（本小題滿分12分）
已知橢圓 經過點其離心率為
（1）求橢圓的方程
(2)設直線與橢圓相交于A、B兩點，以線段為鄰邊作平行四邊形OAPB，其中頂點P在橢圓上，為坐標原點. 求到直線的距離的最小值.

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知，，所以，   ①   ………1分
又點在橢圓上，所以 ，     ②   …………2分
由①②解之，得.
故橢圓的方程為.                        …………5分
(Ⅱ) 當直線有斜率時，設時，
則由 
消去得，，         ……………6分
， ③…………7分
設A、B、點的坐標分別為，則：
，…………8分
由于點在橢圓上，所以.      ……… 9分
從而，化簡得，經檢驗滿足③式.
又點到直線的距離為：
             ………10分
當且僅當時等號成立         
當直線無斜率時，由對稱性知，點一定在軸上，
從而點為，直線為，所以點到直線的距離為1
所以點到直線的距離最小值為     ……12分

解析