Question

【題目】如果函數的定義域為，且存在實常數a，使得對于定義域內任意x，都成立，則稱此函數具有“性質”

（1）判斷函數是否具有“性質”，若具有“性質”，求出所有a的值的集合；若不具有“性質”，請說明理由；

（2）已知函數具有“性質”，且當時，，求函數在區間上的值域；

（3）已知函數具有“性質”，又具有“性質”，且當時，，若函數的圖像與直線有2017個公共點，求實數p的值.

Answer 1

【答案】（1）函數具有“性質”，所有a的值的集合為（2）答案不唯一，具體見解析（3）

【解析】

（1）根據題意可知，故而，；

（2）由新定義可推出為偶函數，從而求出在，上的解析式，討論與，的關系判斷的單調性得出的最值；

（3）根據新定義可知為周期為2的偶函數，作出的函數圖象，根據函數圖象得出的值．

解：（1）假設具有“性質”，則恒成立，

，

函數具有“性質”，且所有的值的集合為，．

（2）因為函數具有“性質”，所以恒成立，

是偶函數．

設，則，．

①當時，函數在，上遞增，值域為，．

②當時，函數在，上遞減，在，上遞增，

，，值域為，．

③當時，，，值域為，．

④時，函數在，上遞減，值域為，．

（3）既具有“性質”，即，函數偶函數，

又具有“（2）性質”，即，

函數是以2為周期的函數．

作出函數的圖象如圖所示：

由圖象可知，當時，函數與直線交于點，，即有無數個交點，不合題意．

當時，在區間，上，函數有1008個周期，要使函數的圖象與直線有2017個交點，

則直線在每個周期內都有2個交點，且第2017個交點恰好為，所以．

同理，當時，．

綜上，．