Question

【題目】已知函數(shù)

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）談論函數(shù)的零點個數(shù)

Answer 1

【答案】(1) 的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是 (2)見解析

【解析】

（1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）由（1）知當時，，分，，三種情況討論，由函數(shù)的定義域為顯然沒有零點，當轉化為函數(shù)的交點問題.

解：（1）∵，

故，

∵

∴時，，故單調(diào)遞減，

時，，故單調(diào)遞增，

所以，時，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是

（2）由（1）知，

當時，在處取最小值，

當時，，在其定義域內(nèi)無零點

當時，，在其定義域內(nèi)恰有一個零點

當時，最小值，因為，且在單調(diào)遞減，故函數(shù)在上有一個零點，

因為，，，又在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在上有一個零點，故在其定義域內(nèi)有兩個零點；

當時，在定義域內(nèi)無零點；

當時，令，可得，分別畫出與，易得它們的圖象有唯一交點，即此時在其定義域內(nèi)恰有一個零點

綜上，時，在其定義域內(nèi)無零點；或時，在其定義域內(nèi)恰有一個零點；時，在其定義域內(nèi)有兩個零點；