Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）右焦點為F，其右準線與x軸的交點為A，在橢圓上存在點P滿足線段AP的垂直平分線過點F，則橢圓的離心率的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：首先根據點F在AP的垂直平分線上，可得|PF|=|FA|；然后求出|FA|=

b2

c

，|PF|∈[a-c，a+c]，所以

b2

c

∈[a-c，a+c]，從而求出橢圓的離心率的取值范圍即可．

解答： 解：因為在橢圓上存在點P滿足線段AP的垂直平分線過點F，
所以F點到P點與A點的距離相等；
因為|FA|=

a2

c

-c=

b2

c

，|PF|∈[a-c，a+c]，
所以

b2

c

∈[a-c，a+c]，
可得ac-c²≤b²≤ac+c²，
即ac-c²≤a²-c²≤ac+c²，
解得

c a ≤1 c a ≤-1或 c a ≥ 1 2

，
即

1

2

≤e＜1．
所以橢圓的離心率的取值范圍為[

1

2

，1)．
故答案為：[

1

2

，1)．

點評：本題主要考查了橢圓的基本性質的運用，屬于基礎題，解答此題的關鍵是根據題意，判斷出|PF|=|FA|．