Question

已知拋物線y²=6x，過點P（4，1）引一條弦P₁P₂使它恰好被點P平分，求這條弦所在的直線方程及|P₁P₂|．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設出P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），代入拋物線方程后作差得到P₁P₂的斜率，由點斜式得到直線方程；聯立直線方程和拋物線的方程，利用弦長公式求弦長．

解答： 解：設直線上任意一點坐標為（x，y），弦兩端點P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）．
∵P₁，P₂在拋物線上，∴y

2 1

=6x₁，y

2 2

=6x₂．
兩式相減，得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=6（x₁-x₂）．
∵y₁+y₂=2，∴k=

6

y1+y2

=3．
∴直線的方程為y-1=3（x-4），即3x-y-11=0．
代入拋物線方程得y²-2y-22=0，∴y₁+y₂=2，y₁•y₂=-22．
∴|P₁P₂|=

1+ 1 9

•

4+88

=

2 230

3

．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了“點差法”求中點弦的斜率，考查了弦長公式，是中檔題．