Question

【題目】已知函數f（x）=ax3+3x2+1，若至少存在兩個實數m，使得f（﹣m），f（1）、f（m+2）成等差數列，則過坐標原點作曲線y=f（x）的切線可以作（ ）
A.3條
B.2條
C.1條
D.0條

Answer 1

【答案】B
【解析】解：至少存在兩個實數m，使得f（﹣m），f（1）、f（m+2）成等差數列， 可得f（﹣m）+f（2+m）=2f（1）=2（a+4），
即有f（x）的圖象關于點（1，a+4）對稱，
由f（x）的導數為f′（x）=3ax2+6x，
f″（x）=6ax+6，由 f″（x）=0，可得x=﹣ ，
由f（﹣ +x）+f（﹣ ﹣x）為常數，
可得﹣ =1，解得a=﹣1，
即有f（x）=﹣x3+3x2+1，f′（x）=﹣3x2+6x，
設切點為（t，﹣t3+3t2+1），
可得切線的斜率為﹣3t2+6t= ，
化為2t3﹣3t2+1=0，
設g（t）=2t3﹣3t2+1，g′（t）=6t2﹣6t，
當0＜t＜1時，g′（t）＜0，g（t）遞減；當t＞1或t＜0時，g′（t）＞0，g（t）遞增．
可得g（t）在t=0處取得極大值，且為1＞0；在t=1處取得極小值，且為0．
可知2t3﹣3t2+1=0有兩解，
即過坐標原點作曲線y=f（x）的切線可以作2條．
故選：B．