Question

【題目】(導學號：05856262)

如圖所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，D是AC的中點，AB⊥平面B1C1CB，∠BCC1＝60°.

(Ⅰ)求證：AC⊥平面BDC1；

(Ⅱ)E是線段CC1上的動點，判斷點E到平面AA1B1B的距離是否為定值，若是，求出此定值；否則，說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)定值為

【解析】試題分析：（1）利用余弦定理易證C1B⊥BC，又平面ABC⊥平面BCC1B1所以C1B⊥平面ABC進而易得AC⊥平面BDC1（2）CC1∥平面A1B1BA，所以點E到平面A1B1BA的距離與E的位置無關，為一定值．利用等積法構建所求量的方程，解之即可.

試題解析：

(Ⅰ)在△BCC1中，BC＝BC2＋CC－2BC×CC1×cos∠BCC1＝1＋4－2×1×2×＝3，

∵CC＝BC2＋BC，∴C1B⊥BC.∵AB⊥平面BCC1B1，∴平面ABC⊥平面BCC1B1，

∴C1B⊥平面ABC，則平面BC1D⊥平面ABC.

∵AB＝BC，D是AC的中點，∴AC⊥BD，∴AC⊥平面BDC1.

(Ⅱ)∵CC1∥BB1，∴CC1∥平面A1B1BA，所以點E到平面A1B1BA的距離與E的位置無關，為一定值．

∵A1B1∥AB，∴A1B1⊥平面B1C1CB.

設點E到平面AA1BB1的距離為h，則VE－A1B1B＝VA1－B1BE.

∵S△A1B1B＝×A1B1×BB1＝×1×2＝1，

S△BB1E＝SBCC1B1＝S△BC1C＝BC1×BC＝，

∴S△A1B1B×h＝S△BB1E×A1B1，即h＝，也即點E到平面AA1B1B的距離為.