Question

已知數列{a_n}滿足a_n=2n-1，設函數f（n）=

an，n為奇數 f( n 2 )，n為偶數

，c_n=f（2ⁿ+4），n∈N^*，數列{c_n}的前n項和T_n=

 

．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：T₁=c₁=a₃=2×3-1=5，c₂=a₁=3，n≥3時，c_n=f（2ⁿ+4）=f（2^n-1+2）=f（2^n-2+1）=2（2^n-2+1）-1=2^n-1+1，由此能求出T_n．

解答： 解：由題意知：
n=1時，T₁=c₁=f（2+4）=f（3）=a₃=2×3-1=5；
c₂=f（2²+4）=f（4）=f（2）=f（1）=a₁=2×1+1=3，
n≥3時，c_n=f（2ⁿ+4）=f（2^n-1+2）=f（2^n-2+1）
=2（2^n-2+1）-1=2^n-1+1，
∴n≥2時，T_n=5+1+（2²+1）+（2³+1）+…+（2^n-1+1）
=1+2+2²+2³+…+2^n-1+n+1
=2ⁿ+n．
∴T_n=

5，n=1 2n+n，n≥2

故答案為：

5，n=1 2n+n，n≥2

點評：本題考查數列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意分組求和法的合理運用．