Question

設正四棱錐的側棱長為3，則其體積的最大值為

 

．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：計算題

分析：設出正四棱錐的底面邊長，求出正四棱錐的高，推出體積，利用基本不等式求出體積的最大值．

解答： 解：設正四棱錐的底面邊長為a，AC=

2

a，OC=

2

2

a，
所以正四棱錐的高為：h=

9- 1 2 a2

．
所以正四棱錐的體積為：V=

1

3

a2

9- 1 2 a2

=

1

3

16× 1 4 a2× 1 4 a2(9- 1 2 a2)

=

4

3

1 4 a2× 1 4 a2×(9- 1 2 a2)

≤

4

3

( 1 4 a2+ 1 4 a2+9- 1 2 a2 3

)3=4

3

，
當且僅當

1

4

a2=9-

1

2

a2時，即a=2

3

等號成立，此時正四棱錐的體積最大．
故答案為：4

3

．

點評：本題考查正四棱錐的體積求法，不等式求最值的應用，考查計算能力．