Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x2+lnx-2mx在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，讓它在（0，+∞）上是單調(diào)遞增的，從而求出m的取值范圍．

解答： 解：f′（x）=x+

1

x

-2m=

x2-2mx+1

x

=

(x-m)2+1-m2

x

∴若1-m²≥0，即：-1≤m≤1時(shí)f′（x）≥0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，符合題意．
若1-m²＜0，即m＜-1，或m＞1時(shí)，當(dāng)x＞m+

m2-1

時(shí)，f′（x）＞0，則m+

m2-1

≤0，解得m＜-1．
綜上得m的取值范圍是（-∞，1]．
故答案為：（-∞，1]．

點(diǎn)評：考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的關(guān)系，注意將導(dǎo)函數(shù)變成f′(x)=

(x-m)2+1-m2

x

，便于討論m的取值，和找f（x）的單調(diào)增區(qū)間．