Question

【題目】已知，.

（1）若恒成立.求的最大值；

（2）若，取（1）中的，當時，證明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析；

【解析】

（1）根據函數奇偶性可知為偶函數，根據時，恒成立可將問題轉化為時，，恒成立，求；利用導數，分別在和兩種情況下得到函數單調性，進而確定的范圍，從而得到最大值；

（2）將所證不等式轉化為證明當，，根據余弦函數和二次函數單調性可分別求得不等號左右兩側函數的最大值和最小值，由此可證得不等式成立，從而得到結論.

（1），為偶函數，

當時，恒成立，

故題意可為：，，若恒成立，求的最大值.

，，

①若，則恒成立，在單調遞增，

又，有，，故在單調遞增，

又，有恒成立，此時的最大值.

②若，則存在最小的正數，使成立，此時，

當時，，在單調遞減，

又，有，，故在單調遞減，

又，有，，故，不恒成立，

即無最大值.

綜合①②可知，滿足題意的最大值.

（2）由（1）知，，證明：，

即證：，，

，，

由，恒成立，有，

即證：，，

，，（*）

當時，的最大值為，

當時，的最小值為，

故（*）式恒成立，即證得恒成立.