Question

【題目】已知橢圓的左、右兩個頂點分別為、，曲線是以、兩點為頂點，焦距為的雙曲線，設點在第一象限且在曲線上，直線與橢圓相交于另一點.

（1）求曲線的方程；

（2）設、兩點的橫坐標分別為、，求證為一定值；

（3）設△與△（其中為坐標原點）的面積分別為與，且，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析，；（3）.

【解析】

（1）由橢圓方程可得，由焦距得到，根據求得，進而得到雙曲線方程；

（2）設，與雙曲線方程聯立，結合韋達定理可求得；同理可求得，相乘可求得定值；

（3）設，，利用向量數量積可求得；利用點在雙曲線上且位于第一象限可求得的范圍；將表示為，根據對號函數的性質可求得最值，進而得到取值范圍.

（1）由橢圓方程可得：，，即雙曲線中，

又雙曲線焦距為

曲線的方程為：

（2）由題意可知，直線斜率存在，則可設

聯立得：

，

橢圓與直線聯立得：可得：

，即為定值

（3）由（2）可設，

則，

又點在雙曲線上 ，解得：

又位于第一象限

，

令

在上單調遞減，在上單調遞增

，

的取值范圍為